A középszintű matematika érettségi hivatalos javítási-értékelési útmutatója >>
2013. május 7., kedd
2013. április 14., vasárnap
Kör egyenlete
Tananyag és kidolgozott mintafeladatok >>
Multimédiás tananyag >>
Feladatok (online segítséggel) >>
Videó: érintőkör >>
Multimédiás tananyag >>
Feladatok (online segítséggel) >>
Videó: érintőkör >>
2013. január 27., vasárnap
Egyenes egyenlete
Adott ponton áthaladó, adott normálvektorú egyenes egyenlete: http://www.mozaweb.hu/Lecke-Matematika-Matematika_11-5_Az_egyenes_egyenlete_I-100823
Feladatmegoldás:
Az egyenes irányvektoros egyenlete:
Feladatmegoldás:
Az egyenes irányvektoros egyenlete:
2012. december 27., csütörtök
Felszín- és térfogatszámítás
Felszín- és térfogat számítási feladatok megoldása:
Gúla és kúp felszíne, térfogata:
http://www.mozaweb.hu/Lecke-Matematika-Matematika_12-7_A_gula_es_a_kup_terfogata-100858
Kúp térfogata:
Gúla és kúp felszíne, térfogata:
http://www.mozaweb.hu/Lecke-Matematika-Matematika_12-7_A_gula_es_a_kup_terfogata-100858
Kúp térfogata:
2012. július 31., kedd
Legnagyobb közös osztó
A természetes számokat, az osztóik száma alapján, három halmazba sorolhatjuk:
A = {0; 1}
B = {2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23; 29; ...}
C = {4; 6; 8; 9; 10; 12; 14; 15; 16; 18; 20; ...}
B halmazba azok a természetes számok tartoznak, amelyeknek pontosan 2 osztójuk van, 1 és önmaguk. Ezeket a számokat prímszámoknak nevezzük.
C halmazba azok a természetes számok tartoznak, melyeknek legalább 3 osztójuk van. Ezeket a számokat összetett számoknak nevezzük.
A nullának végtelen sok osztója van, önmagán kívül minden más természetes számmal osztható. Az 1-nek pedig egy darab osztója van, önmaga. Így ők ketten nem tartoznak sem a prímszámok, sem az összetett számok közé.
Az összetett számok felbonthatók prímszámok szorzatára. Például:
12 = 2*2*3
54 = 2*3*3*3
Ezt a szorzat alakot nevezzük prímtényezős szorzat alaknak - a szorzás minden tényezője prímszám.
Segítségével könnyen előállíthatjuk a szám összes osztóját:
12 osztói: 1; 2; 3; 2*2; 2*3; 2*2*3
54 osztói: 1, 2; 3; 2*3; 3*3; 2*3*3; 3*3*3, 2*3*3*3
A két számnak vannak közös osztóik: 1, 2, 3; 6. Kérdés: hogyan lehet a legnagyobb közös osztót leolvasni a számok prímtényezős szorzat alakjáról?
A legnagyobb közös osztó prímtényezős szorzat alakját tudjuk leolvasni a két szám szorzat alakjáról: a 12 is és az 54 is egy darab 2-es és egy darab 3-as közös prímtényezővel rendelkezik. Így az ő legnagyobb közös osztójuk a 2*3.
Más példa:
288 = 25*32
3024 = 24*33*7
Közös prímtényezők: négy darab 2-es tényező és kettő darab 3-as tényező. Így legnagyobb közös osztójuk:
24*32 = 144.
A legnagyobb közös osztó jelölése a gömbölyű zárójel:
(12; 54) = 6
(288; 3024) = 144
Összefoglalva: két (vagy több) szám legnagyobb közös osztójának prímtényezős szorzat alakját úgy olvassuk le, hogy
1.) a számokat prímszámok szorzatára bontjuk, majd
2.) a számok közös prímtényezőit, az előforduló kisebbik hatványon összeszorozzuk.
Ha a számok legnagyobb közös osztója 1, akkor relatív prímeknek nevezzük őket. Például a 14 és a 15 összetett számok, ám nincs közös prímtényezőjük:
14 = 2*7
15 = 3*5.
Így legnagyobb közös osztójuk az 1.
(14; 15) = 1.
A legnagyobb közös osztó meghatározásának a törtek egyszerűsítésénél van szerepe. Ha meghatározzuk a számláló és a nevező legnagyobb közös osztóját, akkor egy lépésben tudjuk egyszerűsíteni a törtet. Például:
Egyszerűsítsük az 5100/6120 törtet!
1.) Prímszámok szorzatára bontjuk a számlálót és a nevezőt:
5100 = 22*3*52*17
6120 = 23*32*5*17
2.) Leolvassuk a legnagyobb közös osztót:
(5100; 6120) = 22*3*5*17 = 1020
3.) 1020-szal egyszerűsítjük a törtet:
5100/6120 = 5/6.
A = {0; 1}
B = {2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23; 29; ...}
C = {4; 6; 8; 9; 10; 12; 14; 15; 16; 18; 20; ...}
B halmazba azok a természetes számok tartoznak, amelyeknek pontosan 2 osztójuk van, 1 és önmaguk. Ezeket a számokat prímszámoknak nevezzük.
C halmazba azok a természetes számok tartoznak, melyeknek legalább 3 osztójuk van. Ezeket a számokat összetett számoknak nevezzük.
A nullának végtelen sok osztója van, önmagán kívül minden más természetes számmal osztható. Az 1-nek pedig egy darab osztója van, önmaga. Így ők ketten nem tartoznak sem a prímszámok, sem az összetett számok közé.
Az összetett számok felbonthatók prímszámok szorzatára. Például:
12 = 2*2*3
54 = 2*3*3*3
Ezt a szorzat alakot nevezzük prímtényezős szorzat alaknak - a szorzás minden tényezője prímszám.
Segítségével könnyen előállíthatjuk a szám összes osztóját:
12 osztói: 1; 2; 3; 2*2; 2*3; 2*2*3
54 osztói: 1, 2; 3; 2*3; 3*3; 2*3*3; 3*3*3, 2*3*3*3
A két számnak vannak közös osztóik: 1, 2, 3; 6. Kérdés: hogyan lehet a legnagyobb közös osztót leolvasni a számok prímtényezős szorzat alakjáról?
A legnagyobb közös osztó prímtényezős szorzat alakját tudjuk leolvasni a két szám szorzat alakjáról: a 12 is és az 54 is egy darab 2-es és egy darab 3-as közös prímtényezővel rendelkezik. Így az ő legnagyobb közös osztójuk a 2*3.
Más példa:
288 = 25*32
3024 = 24*33*7
Közös prímtényezők: négy darab 2-es tényező és kettő darab 3-as tényező. Így legnagyobb közös osztójuk:
24*32 = 144.
A legnagyobb közös osztó jelölése a gömbölyű zárójel:
(12; 54) = 6
(288; 3024) = 144
Összefoglalva: két (vagy több) szám legnagyobb közös osztójának prímtényezős szorzat alakját úgy olvassuk le, hogy
1.) a számokat prímszámok szorzatára bontjuk, majd
2.) a számok közös prímtényezőit, az előforduló kisebbik hatványon összeszorozzuk.
Ha a számok legnagyobb közös osztója 1, akkor relatív prímeknek nevezzük őket. Például a 14 és a 15 összetett számok, ám nincs közös prímtényezőjük:
14 = 2*7
15 = 3*5.
Így legnagyobb közös osztójuk az 1.
(14; 15) = 1.
A legnagyobb közös osztó meghatározásának a törtek egyszerűsítésénél van szerepe. Ha meghatározzuk a számláló és a nevező legnagyobb közös osztóját, akkor egy lépésben tudjuk egyszerűsíteni a törtet. Például:
Egyszerűsítsük az 5100/6120 törtet!
1.) Prímszámok szorzatára bontjuk a számlálót és a nevezőt:
5100 = 22*3*52*17
6120 = 23*32*5*17
2.) Leolvassuk a legnagyobb közös osztót:
(5100; 6120) = 22*3*5*17 = 1020
3.) 1020-szal egyszerűsítjük a törtet:
5100/6120 = 5/6.
2012. május 11., péntek
2012. március 11., vasárnap
Háromszögek szögeinek kiszámítása
A koszinusztétel és a szinusztétel segítségével számolhatjuk ki egy háromszög szögeit, ha ismerjük az oldalait. Nézzük ezt meg egy feladaton keresztül!
Egy háromszög oldalai a = 12 cm, b = 15 cm, c = 20 cm. Mekkorák a szögei?
1.)
A leghosszabb oldalra írjuk fel a koszinusztételt:
202 = 122 + 152 - 2*12*15*cos(gamma)
400 = 144 + 225 - 360*cos(gamma)
400 = 369 - 360*cos(gamma)
31 = -360*cos(gamma)
-0,0861 = cos(gamma)
94,94° = gamma
2.)
Innen pedig a szinusztétel segítségével kiszámolunk egy másik szöget:
sin(alfa) / sin94,94° = 12 / 20
sin(alfa) = sin94,94°*12 / 20
sin(alfa) = 0,5978
alfa = 36,71°
Még egy szög van 0° és 180° között, amelynek a szinusza ugyanennyi (143,29°), de ez most nem lehet megoldás a háromszög alfa szögére, mert a legnagyobb oldallal szemben van a legnagyobb szög, illetve kisebb oldallal szemben van a kisebb szög. Mivel 12 < 20 ezért alfa < 94,94°.
3.)
A harmadik szöget kivonással (is) számolhatjuk:
béta = 180° - 94,94° - 36,71°
béta = 48,35°
Egy háromszög oldalai a = 12 cm, b = 15 cm, c = 20 cm. Mekkorák a szögei?
1.)
A leghosszabb oldalra írjuk fel a koszinusztételt:
202 = 122 + 152 - 2*12*15*cos(gamma)
400 = 144 + 225 - 360*cos(gamma)
400 = 369 - 360*cos(gamma)
31 = -360*cos(gamma)
-0,0861 = cos(gamma)
94,94° = gamma
2.)
Innen pedig a szinusztétel segítségével kiszámolunk egy másik szöget:
sin(alfa) / sin94,94° = 12 / 20
sin(alfa) = sin94,94°*12 / 20
sin(alfa) = 0,5978
alfa = 36,71°
Még egy szög van 0° és 180° között, amelynek a szinusza ugyanennyi (143,29°), de ez most nem lehet megoldás a háromszög alfa szögére, mert a legnagyobb oldallal szemben van a legnagyobb szög, illetve kisebb oldallal szemben van a kisebb szög. Mivel 12 < 20 ezért alfa < 94,94°.
3.)
A harmadik szöget kivonással (is) számolhatjuk:
béta = 180° - 94,94° - 36,71°
béta = 48,35°
Feliratkozás:
Bejegyzések (Atom)